不等式证明中的断想

例1：有一道题目，\(a，b>0\)，让判断下列不等式是不是恒成立，其中有一个不等式是\(a^3+b^3 \ge 2ab^2\)

【分析】\(a^3+b^3 \ge 2ab^2\Longleftrightarrow a^3-ab^2+b^3-ab^2\ge 0\Longleftrightarrow(a-b)(a^2+ab-b^2)\ge 0\)

当\(a>b>0\)时，\(a^2-b^2+ab>0\)显然成立，

当\(0<a<b\)时，\(a-b<0\)，故关键是证明代数式\((a^2+ab-b^2)\)的正负，

考虑到\(a，b>0\)，\((a^2+ab-b^2)\)的正负\(\Longleftrightarrow \cfrac{a^2+ab-b^2}{b^2}\)的正负。

可以令\(\cfrac{a}{b}=x\)，再改为判断\(x^2+x-1\)的正负，

从而可以利用\(f(x)=x^2+x-1\)函数的图像来判断，

从图像可以看出，代数式\(x^2+x-1\)的可正、可负、可零；

故\((a^2+ab-b^2)\)可正、可负、可零；原不等式不是恒成立。

【引申】判断不等式\(a^3+b^3\ge ab^2+a^2b\)是不是恒成立。

\(a^3+b^3\ge ab^2+a^2b\Longleftrightarrow (a-b)(a^2-b^2)\ge 0\)

当\(a，b>0\)时，恒成立；

当\(a，b\in R\)时，不恒成立；

例2：当\(a>b>0\)时，\(a^3+b^3>2a^2b\)恒成立，是假命题。

【法1】：赋值法，令\(a=3\)，\(b=2\)；

则\(a^3+b^3=27+8=35\)，\(2a^2b=36\)，故不成立；

【法2】：作差法，

\(a^3+b^3-2a^2b=(a^3-a^2b)+(b^3-a^2b)\)

\(=a^2(a-b)-b(a^2-b^2)=(a-b)(a^2-ab-b^2)\)

\(=(a-b)\cdot b^2\cdot [\cfrac{a^2}{b^2}-\cfrac{ab}{b^2}-\cfrac{b^2}{b^2}]\)

\(=(a-b)\cdot b^2\cdot [(\cfrac{a}{b})^2-\cfrac{a}{b}-1]\)

令\(\cfrac{a}{b}=t>1\)，令\(g(t)=t^2-t-1=(t-\cfrac{1}{2})^2-\cfrac{5}{4}(t>1)\)

令\(g(t)=0\)，解得\(t=\cfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)，开口向上，

即当\(t\in (1，\cfrac{1+\sqrt{5}}{2})\)时，\(g(t)<0\)，

当\(t=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)时，\(g(t)=0\)，

当\(t>\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)时，\(g(t)>0\)，

即当\(t>1\)时，\(g(t)\)的值可负，可零，可正，

故\(a^2-ab-b^2>0\)不能恒成立，故当\(a>b>0\)时，\(a^3+b^3>2a^2b\)不恒成立。

【法3】均值不等式，？

【法4】导数法，？